Słownik Ontologiczny (wersja ścisła)

• ♦️ Węzły ($N$ – Nodes / Atoms): Atomy ontologiczne. Byty pozbawione wewnętrznej struktury topologicznej ($\vert{}Z_n\vert{}$ nie istnieje). Stanowią podstawowe jednostki danych lub obiekty niepodzielne w uniwersum.

• ♣️ Hiperkonektory / Hiperkrawędzie ($H$ – Hyperconnectors / Relational Complexes): Autonomiczne byty relacyjne posiadające własną tożsamość oraz przypisaną strukturę wewnętrzną $(Z_h, F_h)$. Użycie terminu hiperkrawędź w niniejszym formalizmie ma charakter rozszerzający i należy je rozumieć w sensie hiperkonektora (kompleksu portowego). W przeciwieństwie do klasycznej hiperkrawędzi Berge’a (będącej jedynie płaskim podbiorem wierzchołków), $H$ definiuje lokalny kontekst topologiczny posiadający własne porty (strefy) oraz wewnętrzną dynamikę (przepływy).

• ♥️ Strefy ($Z$ – Zones / Ports): Dyskretne elementy strukturalne stanowiące punkty styku (porty / role / interfejsy) danej hiperkrawędzi. Strefa $z \in Z_h$ nie jest zbiorem, lecz instancją portu o unikalnej tożsamości globalnej ($z_1 \neq z_2$). Pełni rolę kontenera interfejsowego, którego zawartość wskazuje funkcja $\mu_Z(z) \subseteq U$.

• ♠️ Przepływy ($F$ – Flows / Relational Instances): Autonomiczne instancje relacji zachodzące wyłącznie pomiędzy strefami należącymi do tej samej hiperkrawędzi ($Z_h \times Z_h$). Przepływ $f \in F_h$ nie jest zbiorem par, lecz unikalnym obiektem wskazywanym przez funkcję przydziału $\pi_F$, niosącym atomowy typ orientacji $T = \{\text{sym}, \text{dir}, \text{bidir}\}$.

Aksjomaty Systemu (wersja ścisła)

• ♦️ Aksjomat 1 (Ontologia Węzłów):  Istnieje zbiór węzłów $N$, których elementy są ontologicznymi atomami pozbawionymi struktury portowej.

• ♣️ Aksjomat 2 (Ontologia Hiperkonektorów): Istnieje zbiór hiperkonektorów $H$. Zbiory $N$ oraz $H$ są rozłączne i tworzą uniwersum obiektów:
  $$U = N \sqcup H \quad \text{gdzie} \quad N \cap H = \emptyset$$ .

• ♥️ Aksjomat 3 (Lokalność i Rozłączność Stref): Każdemu hiperkonektorowi $h \in H$ przypisana jest lokalna rodzina stref $Z_h$. Strefy należące do różnych hiperkonektorów są ściśle rozłączne:
  $$\forall h_1, h_2 \in H \quad (h_1 \neq h_2 \implies Z_{h_1} \cap Z_{h_2} = \emptyset)$$ .

• ♥️ Aksjomat 4 (Globalne Uniwersum Stref): Globalną przestrzeń stref $Z$ definiuje się jako sumę rozłączną rodzin lokalnych:
  $$Z = \bigsqcup_{h \in H} Z_h$$
  Strefy nie istnieją jako samodzielne byty poza swoim hiperkonektorem macierzystym.

• ♠️ Aksjomat 5 (Lokalność i Rozłączność Przepływów): Każdemu hiperkonektorowi $h \in H$ przypisana jest lokalna rodzina instancji przepływów $F_h$. Przepływy należące do różnych hiperkonektorów są ściśle rozłączne:
  $$\forall h_1, h_2 \in H \quad (h_1 \neq h_2 \implies F_{h_1} \cap F_{h_2} = \emptyset)$$

• ♠️ Aksjomat 6 (Globalne Uniwersum Przepływów): Globalną przestrzeń przepływów $F$ definiuje się jako sumę rozłączną rodzin lokalnych:
  $$F = \bigsqcup_{h \in H} F_h$$
  Przepływy nie istnieją jako samodzielne byty poza swoim hiperkonektorem macierzystym.

• ♣️ Aksjomat 7 (Odwzorowanie Struktury Hiperkonektora): Struktura dowolnego hiperkonektora $h \in H$ jest określona przez funkcję przydziału:
  $$\sigma: H \to \mathcal{P}(Z) \times \mathcal{P}(F) \quad \text{gdzie} \quad \sigma(h) = (Z_h, F_h)$$
  Dopuszczalne są liczności $\vert{}Z_h\vert{} \ge 0$ oraz $\vert{}F_h\vert{} \ge 0$. Stan $\vert{}Z_h\vert{} = 0$ definiuje byt bezportowy (placeholder).

• ♥️ Aksjomat 8 (Zawartość Stref): Zawartość każdej strefy $z \in Z$ opisuje funkcja:
  $$\mu_Z: Z \to \mathcal{P}(U)$$
  Strefa może być pusta ($\mu_Z(z) = \emptyset$) lub zawierać dowolny podzbiór węzłów i/lub hiperkonektorów.

• ♥️ Aksjomat 9 (Relacja Zagnieżdżenia i Aksjomat Ufundowania): Relację bezpośredniego zagnieżdżenia $\mathcal{R}_{\text{contain}} \subseteq U \times U$ definiuje się jako:
  $$(h, u) \in \mathcal{R}_{\text{contain}} \iff h \in H \land \exists z \in Z_h \bigl(u \in \mu_Z(z)\bigr)$$
  Relacja $\mathcal{R}_{\text{contain}}$ jest dobrze ufundowana (well-founded), co wyklucza istnienie nieskończonych łańcuchów zagnieżdżenia $u_0 \ni u_1 \ni u_2 \dots$. Ponadto jej domknięcie przechodnie $\mathcal{R}_{\text{contain}}^+$ jest ściśle irrefleksywne:
  $$\forall u \in U \quad (u, u) \notin \mathcal{R}_{\text{contain}}^+$$

• ♠️ Aksjomat 10 (Instancja i Typowanie Przepływu): Każda instancja przepływu $f \in F_h$ jest odwzorowywana przez funkcję przydziału:
  $$\pi_F: F_h \to Z_h \times Z_h \times T \quad \text{gdzie} \quad T = \{\text{sym}, \text{dir}, \text{bidir}\}$$

• ♠️ Aksjomat 11 (Symetria Reprezentacji i Auto-Przepływy): Dla typów orientacji $t \in \{\text{sym}, \text{bidir}\}$ zachodzi symetria reprezentacji krotki modulo relacja równoważności $\equiv$:
  $$(z_1, z_2, t) \equiv (z_2, z_1, t)$$
  Dla $t = \text{dir}$ kolejność argumentów w parze jest asymetryczna. Dozwolone są auto-przepływy, gdzie $z_1 = z_2$.
  
  ℹ️ Uwaga dotycząca semantyki typów: Relacja $\equiv$ określa wyłącznie symetrię podłączenia do portów $Z_h \times Z_h$. Typy sym i bidir stanowią jednak rozłączne elementy zbioru $T$: typ sym reprezentuje statyczną relację nieskierowaną (np. styk/potencjał), natomiast bidir reprezentuje atomowy, aktywny kanał dwukierunkowy ($f_{\leftrightarrow}$), którego pełna dwustronna dynamika jest interpretowana w Warstwie Semantycznej ($\mathcal{S}$).

• ♠️ Aksjomat 12 (Multigrafowość Warstwy Relacyjnej): Funkcja $\pi_F$ nie musi być iniekcją. Dwa odrębne obiekty przepływu $f_1, f_2 \in F_h$ ($f_1 \neq f_2$) mogą posiadać identyczny obraz $\pi_F(f_1) = \pi_F(f_2)$, co tworzy strukturę multigrafu.

📖 Definicja Kanonicznego Zanurzenia Iniekcyjnego ($\Phi$) (Klasycznej Krawędzi w Grafie): Dowolny klasyczny graf skierowany $G = (V, E)$, gdzie $E \subseteq V \times V$, jest reprezentowalny w meta-modelu poprzez kanoniczne zanurzenie iniekcyjne:

$$\Phi: V \sqcup E \hookrightarrow U, \quad \text{gdzie} \quad \Phi(V) \subseteq N \quad \text{oraz} \quad \Phi(E) \subseteq H$$

Dla każdej krawędzi $e = (u, v) \in E$ niech $h_e = \Phi(e) \in H$. Hiperkonektor $h_e$ posiada strukturę $\sigma(h_e) = (\{z_e^{(1)}, z_e^{(2)}\}, \{f_e\})$, gdzie $z_e^{(1)} \neq z_e^{(2)}$, i spełnia warunki:

$$\mu_Z(z_e^{(1)}) = \{\Phi(u)\}, \quad \mu_Z(z_e^{(2)}) = \{\Phi(v)\}, \quad \pi_F(f_e) = (z_e^{(1)}, z_e^{(2)}, \text{dir})$$

📖 Definicja Zanurzenia Klasycznej Hiperkrawędzi ($\Phi_{\text{hyper}}$): Dowolny klasyczny hipergraf Berge’a $\mathcal{H} = (V, E)$, gdzie $e \subseteq V$ dla każdego $e \in E$, jest reprezentowalny w meta-modelu poprzez kanoniczne zanurzenie iniekcyjne:

$$\Phi_{\text{hyper}}: V \sqcup E \hookrightarrow U, \quad \text{gdzie} \quad \Phi_{\text{hyper}}(V) \subseteq N \quad \text{oraz} \quad \Phi_{\text{hyper}}(E) \subseteq H$$

Dla każdej hiperkrawędzi $e \in E$ niech $h_e = \Phi_{\text{hyper}}(e) \in H$. Hiperkonektor $h_e$ posiada strukturę $\sigma(h_e) = (\{z_e\}, \emptyset)$ (brak przepływów, $\vert{}F_{h_e}\vert{} = 0$) i spełnia warunek:

$$\mu_Z(z_e) = \{\Phi_{\text{hyper}}(v) \mid v \in e\}$$

📖 Definicja Zanurzenia Klasycznej Skierowanej Hiperkrawędzi ($\Phi_{\text{dir\_hyper}}$): Dowolny klasyczny skierowany hipergraf $\mathcal{H}_{\text{dir}} = (V, E_{\text{dir}})$, gdzie każda krawędź jest parą zbiorów $e = (T_e, H_e)$ dla $T_e, H_e \subseteq V$ (zbiór wejściowy Tail i wyjściowy Head), jest reprezentowalny w meta-modelu poprzez kanoniczne zanurzenie iniekcyjne:

$$\Phi_{\text{dir\_hyper}}: V \sqcup E_{\text{dir}} \hookrightarrow U, \quad \text{gdzie} \quad \Phi_{\text{dir\_hyper}}(V) \subseteq N \quad \text{oraz} \quad \Phi_{\text{dir\_hyper}}(E_{\text{dir}}) \subseteq H$$

Dla każdej skierowanej hiperkrawędzi $e = (T_e, H_e) \in E_{\text{dir}}$ niech $h_e = \Phi_{\text{dir\_hyper}}(e) \in H$. Hiperkonektor $h_e$ posiada strukturę $\sigma(h_e) = (\{z_e^{\text{tail}}, z_e^{\text{head}}\}, \{f_e\})$, gdzie $z_e^{\text{tail}} \neq z_e^{\text{head}}$, i spełnia warunki:

$$\mu_Z(z_e^{\text{tail}}) = \{\Phi_{\text{dir\_hyper}}(v) \mid v \in T_e\}, \quad \mu_Z(z_e^{\text{head}}) = \{\Phi_{\text{dir\_hyper}}(v) \mid v \in H_e\}$$

$$\pi_F(f_e) = (z_e^{\text{tail}}, z_e^{\text{head}}, \text{dir})$$